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昨天是柳丁學園一年一度開放讓家長與其他好奇人士導覽參觀的『Journey & Discovery』活動。

其實前年我們還在排漫漫長隊根本不知道能不能入學的時候就來過一次類似的活動,去年一月正式入學後也來參加了去年的『Journey & Discovery』,所以今年保羅超級霹靂不想去的。只是去年參加活動後醍醐灌頂的感動仍深深印在我心頭,我堅信不管再去幾次都一定會收穫良多,因此我苦情勸說加母老虎強逼與保羅強力爭取,最後終於如老牛拉車般成功把保羅拖來與我同行。

於是週六早上八點,我們一群精神一點都不抖擻的家長與老師們在瑜珈教室集合喝咖啡。

這次活動由柳丁學校小學與幼兒部的校長副校長以及國高中部校長一同主持。在他們講解今日行程時,小學校長笑咪咪地說每年他們辦『Journey & Discovery』都相當興奮,因為這種體驗除了我們在南加州的柳丁學校外,最近的大概就要跑去波士頓了!(蛤?)

國高中部校長表示同意,說全美國只有二十家左右的蒙特梭利High School,這二十家學校裡只有七家是Charter School(以私立學校體制去辦的特例公立學校),又只有三家蒙特梭利中學有真正在經營的農場,然後竟然只有我們柳丁學校是獨一無二的幼兒小學部與國高中部與農場都在同一個campus上。

全美唯一耶!這樣講就讓睡眼惺忪的大家一下子都振奮起來了!

柳丁學校就是這種本來我就已經知道很厲害了,每次了解越深就都還會感覺更厲害的神奇地方。

我本來就已經覺得兩少爺竟然歪打誤撞成功擠入柳丁學校是爆幸運的事了,每次了解越深也都還會更覺得哇靠我們家也未免太幸福了吧!!

(兩少爺歪打誤撞入學記請見『峰迴路轉的柳丁求學記』一文)

『Journey & Discovery』活動前半段的『Journey』,兩位校長將帶領大家遊走至各個年齡層的不同教室與校區參觀。有趣的是,兩位校長除了要求大家手機關靜音之外,還請大家全程保持沈默不出聲不講話,只用眼睛耳朵等感官去專心觀察摸索,自己的思緒也才能不被旁人言語意見打擾,而能夠好好地用心去感受了解孩子們的環境空間。

於是,小學部校長帶著排成一條超長隊伍的大批家長們,開始沈默地在校園裡漫遊著。幾十個大人排長龍蜿蜒在校園裡沈默靜音遊走,只聽得到沙沙的步伐聲與周遭環境的雞鳴鳥鳴蟲鳴及風聲。剛開始感覺超詭異,不過很快地這種詭異感覺就被沈澱心靈的療癒感取代。

我們慢慢循著路線,先到一歲半至三歲學步兒的教室裡繞了一圈。

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學步兒教室裡所有的櫃子跟椅子都好矮好矮,大人在這裡行走根本就是不小心跑到小人國的感覺,要很小心才不會碰撞到教具設備。教室充滿著蒙特梭利一貫的整潔明亮樸素風格,培養手眼協調、小肌肉活動能力的蒙特梭利嬰幼兒教具現在看起來都好基本好簡單,卻讓我想起當初小札克八個月大,我初識蒙特梭利教育時的震驚感。

(請見『小札克上學去:蒙特梭利學園導覽』一文)

穿越過學步兒教室,我們來到了三歲至六歲的混齡幼兒教室,也就是我每天都要來拜訪兩回的兩少爺的教室。

很奇妙的是,被強制閉嘴沈默後,果然能注意到好多平常根本沒看到的教室小細節耶。

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接著我們來到小學低年級班(一至三年級)的混齡教室。

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然後又沈默地穿越過小學高年級班(四到六年級)的混齡教室。

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建構式教育大祖宗的蒙特梭利教學最最注重的就是概念的具體化。不管是什麼抽象概念,都很厲害地能天外來個神奇教具呈現出很具體的概念。

歷史的時間軸當然也不例外,小學部地上擺出了好大一張人類歷史進化事件表。

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沒有人類之前的進化史當然也不破例,也要來一大張。各種原始生物的演變與進化一清二楚。

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看完幼兒小學部,我們沈默大隊隨著中學部校長穿過對街,來到了中學部的國中農場校園。

停車場裡學生自營的農夫市集正在很熱鬧地進行中,與我們大批人馬的沈默形成奇妙的對比。

(柳丁學校國中部自營的農夫市集介紹請見『教育原來是可以這樣的』一文)

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沈默穿過國中部的農場區...好癒療。

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倉庫旁超認真的三名國中小男生竟然正在焊接鋼鐵!

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穿過他們的菜圃...

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走過他們學生自營的農產小店。

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倉庫裡原來是他們的瓷藝教室。

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原來之前在『教育原來是可以這樣的』一文中介紹過的國中學生擺出來在農夫市集裡賣的陶瓷藝品都是在這裏做的啊。

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倉庫的另一頭,是他們的木工教室。

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然後外面停了一台超酷的改裝車,整個從座椅到方向盤到儀表板到引擎竟然都被學生拆開來改裝掉了。

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穿越過國中部建築裡的教室,不同科的教室裡有著各式各樣的project。

資源回收T-shirt project旁,擺著他們Rocketry Team的太空梭project,

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Future Farmers of America club學生們的project有著飼養動物與種植灌溉農產品的實驗紀錄。

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包括語言、宗教、地理、文化等等的人類學的project。

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之前介紹過他們上課的教室barn house,是由工頭帶領著一屆一屆的孩子們一點一滴地花了多年去裝修改建的古蹟。

去年來參觀的時候,這棟才剛改建好的barn house裡都還沒有隔牆,只是一個空蕩蕩的大空間而已。這次來參觀,barn house裡已經變成多間學生們每天都在使用的新教室了,完全無法跟我上次看到的空間聯想起來。

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接著我們又一路沈默地走回小學部的另一頭。穿過校園裡的小橋與樹林,來到了柳丁學校高中部。

同樣地,不同科目的教室裡展示著不同主題的project。

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高中生的美術教室作品果然厲害很多。

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可以在一條龍的蒙特梭利教育中清楚看見,在孩子年紀越小的時候,教具呈現的概念就越具體,對於教室環境提供的學習依賴度也更大。隨著孩子年紀漸長,他們接收的概念越來越抽象,教室環境已經無法滿足他們的學習,因此學習環境大為外擴。

沈默旅途結束之後校長與老師們與大家解釋,像孩子們到小學高年級班(九至十二歲混齡)時,他們對教室裡的學習已經無法感到滿足,因此老師們鼓勵這些孩子去校園中遊走嘗試實驗應證學習到的東西。兩少爺的老師笑著舉例說,這些小學生學到Pi(π)的時候,就常常會跑進他們教室要求測量玩具車的方向盤圓周、腳踏車的輪胎圓周等,學到求球狀錐狀長方體體積等概念時,則是滿校園遊走尋找籃球、雕塑、樹幹等等環境教具去應證所學概念,再回來教室驕傲地向全班做報告。整個校園環境成為這個年紀孩子們的學習空間。另外除了一個月一次的校外教學之外,九歲孩子們必須花一整個學期的時間細分團隊研究籌備他們自己的年度露營活動,十一歲孩子們則會花上兩年的時間募款籌備他們畢業前的華盛頓特區白宮之旅。到這個年紀,很明顯地看得出孩子們的學習環境需求大為擴張,學校也會隨著孩子的身心發展而量身訂做加以配合。

國中混齡班年紀(十二至十五歲)的孩子們的學習需要與真實社會有密切的銜接,讓他們感受到一己之力創造出的實際的貢獻、自我成長與成就感。

因此到國中年紀時,教室裡已經看不到蒙特梭利的教具了,取而代之的是整個校園包括農場的菜圃溫室與動物養殖、焊鐵與木工wood shop、陶瓷工藝教室、戲劇與科學社團活動到每週六學生自營的農夫市集,全部都是孩子們環境中的『教具』,讓孩子們在周遭環境中把教室學到的抽象概念具體化。

接著到高中混齡班年紀(十六至十八歲)之後,孩子們已經培養出的成熟度與責任感讓他們可以再次把主要學習環境轉移回教室內。同時高中課程學習的內容概念也越來越抽象,不過學校仍然延續著蒙特梭利教學的從手動中學習、概念具體化的理念主旨,因此不管是什麼學科總是project based,讓孩子們能在有興趣的主題上深入研究、實驗、應證。

高中校長很清楚地說明,『課本』對他們而言就像電腦像圖書館一樣,只是一個reference、一個project研究的資訊來源,需要的時候才去翻閱,並不會遵照著課本裡一個個章節、一頁頁地去主導課程的進行。

這時候孩子們成長的重點已經完全轉移至對自己未來的籌備。除了各個學科與課外活動對申請大學的準備之外,學校排出每個星期兩小時的時間請各行各業的專業家長或外賓們來向孩子們清楚講解出社會後各種職業的內容,可能遭遇的挑戰與困難以及可以期待的樂趣所在等等,讓孩子們充分了解未來的各種可能性。

另外學校也相當鼓勵全力協助孩子們找課外實習機會,如此孩子們在選擇大學科目時通常都已經有了相當清楚的方向概念,對大學主修的科目以及未來的應用也都抱著很實際的期待。

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沈默的『Journey』走完之後,大家回到瑜珈教室集合,然後分成兩個團隊做下半段『Discovery』的活動。由小學校長與中學校長分別帶領著『學步兒至小學低年級班』與『小學高年級班至高中班』的兩團家長們,各自去自己孩子年齡層的教室裡好好地摸索、發問。

我們這團年輕團首先來到了學步兒教室,大家自由選擇教室裡的work,由學步兒的角度去練習手動他們的教具。

學步兒教室裡的教具相當精緻,許多work都有著老師們自己縫紉出來的布墊或小布袋,以及他們多年來苦心蒐集的小教材教具,完全看得出老師們的用心。

我們把孩子帶來這個世界的時候,基本上是帶著他們進入了為我們大人設計的環境,他們是被我們要求入境隨俗的『客人』。因此孩子與家庭社會環境總是格格不入,隨便哪裡轉個身都是『不能碰』、『不能玩』、『太高了』、『很危險』、『會弄壞』的環境。

進入蒙特梭利幼兒教室的環境去活動時,可以很明顯地感受到,在這邊大人才是格格不入的『客人』。不管是教具還是傢具還是教室環境,都是為不同年齡層的孩子完全不同階段的身心發展去量身打造的,完完全全是孩子們可以自由活動、發展獨立自主性的小天地。

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學步兒的教具雖然精緻也對那個年紀的老嬰頗具挑戰性,老實說對大人來說真的蠻無聊的。

到了兩少爺的三至六歲的混齡班幼兒教室,就是完全不一樣的光景了。

我首先選了行星系統的work來做做看。基本上就是按照圖卡解說與小繪本把行星排排站排出來...

靠,會不會太難啊!我突然覺得我是白痴。

難怪我在家裡念行星的繪本還自以為很有教育性時,小札克跟北鼻麥竟然給我齊聲大叫『我們早就知道了』。

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然後保羅不知死活地選了南美洲地圖與國家配對的work(還坐在人家老師旁邊),配得出來的國家不到兩個,讓老師看不下去而直接給保羅一個work lesson,好丟臉。

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讓所有家長看得目瞪口呆mind-blown腦袋炸掉的,當然仍然是強到爆的蒙特梭利建構式數學教育。

之前在臉書粉專上分享過根本就還不太會寫數字的四歲半北鼻麥興奮地送我這張他第一次做出來的四位數加法『禮物』。(之後每天又再補上兩張)

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用的就是下面這一套蒙特梭利培養初級數學概念的Golden Beads work。

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對三到五歲的孩子而言,數字是相當模糊抽象的概念,很難去了解一千跟一百萬有什麼具體上的差別。蒙特梭利在最初級的數學概念建構上,很清楚地用work展現出『1』就是一小粒珠子,『10』是一長條也就是十粒珠子。『100』是十排十粒珠,正方形的板子隱藏了ten squared(10²)的概念(真的是個square)。『1000』則是十片『100』,每一邊長都是十粒珠的正方體隱藏了ten cubed(103)的概念(真的是個cube)。

就這樣把相當抽象的概念變成孩子雙手可以觸摸到的教具,一千與一的差別變成這麼理所當然的道理。

然後藉著個位數蒐集到十顆就要去換一排長珠,長珠蒐集到十排就要換一塊板子,板子蒐集到十片就要換一個正方體,孩子們開始建立出進位的概念。

六歲的小札克也早開始了二位數的初級乘法概念。靠著一長串的珠子與一個個數字標籤,可以把乘法的抽象概念與數量完全具體化。孩子們專注地數珠子,慢慢地完成一個個的標記,並且用筆記錄下來。這是一個相當大的work,剛開始對小札克來說充滿挑戰性,每次他完工之後總是會相當驕傲地跟我報告。

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在四歲孩子把數字量化的具體概念慢慢建立出來之後,教具偷偷地隨著孩子的程度發展而變得比較抽象,於是較進階的孩子們可以用下面這套work來做出一樣的四位數加法,只是再也不用抱著木板跟木塊跑來跑去五鬼搬運地換算進位,而是用不同的顏色與數字去表達不同的位數。

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上面那套work混熟之後,教具再次偷偷進化變得更抽象,孩子們可以進階到用下面的『算盤』去演算同樣的四位數加法與乘法。這時候只剩下不同顏色的珠子,孩子也已經建立出用單顆珠子去代表百位數或千位數的概念了。

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另一個小札克熱愛的work則是這個分數板。同樣地使用教具把1/2、1/3、1/4、1/5等等抽象概念很具體地呈現在孩子的眼前,讓他們用雙手去學習,然後一個個地用筆記錄下來。

老師笑說教室裡最大慘事不外乎於孩子不小心把1/8板跟1/9板打翻弄混,因為1/8跟1/9的形狀大小實在太類似了,總是要花上孩子一段時間才能拼得回來。

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做完分數板之後,我選了有趣的除法板教具來試試看。

老師看我一副癡呆狀,很體貼地過來把我當四歲小孩給了一個lesson。

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首先第一步驟,把板上的所有珠子與小人全部歸位。

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四歲布魯奇抽到的問題是36除以9。老師要我先把九個小人放進最上面那排綠色格子裡,然後數三十六顆小珠子擺在一旁。

四歲布魯奇沒有四歲小手指,然後老師跟保羅還在一旁聊天說笑模擬小屁孩在旁邊不停打擾小屁孩的教室環境,光是要專注數三十六顆珠子還要小心不讓珠子從肥手指間滑落,就已經讓我覺得額頭冒汗。

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大家應該都猜到了。接著從那三十六顆珠子裡開始把珠子分給九個小人,第一排分滿了才能換到第二排。

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辛苦用肥手指把三十六顆都一排排分好,我算出答案了,就是『4』啦哇哈哈哈!(四歲布魯奇好驕傲)

然後用筆記錄下來。

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老師不停強調,孩子們在這個階段的學習,重點完全只在於概念的建立。老師強調在概念建立前絕對不會把這些數學概念貼上『加法』、『乘法』、『除法』、『進位』等等制式標籤,所有的work都是以擬人化生活化的說法去進行著,像『把珠子分給這些little guys』、『把十條10珠拿去換成100板子』。

小札克與北鼻麥也許很熟悉這些綠色小珠的除法work,卻不知道他們在做的東西就是所謂的『除法』,於是這些教具彙整出的概念對孩子而言是天經地義的道理般,因果關係相當make sense,跟肚子餓了就要吃飯、太陽升起天就亮了一樣。

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各位同學,我個人認為蒙特梭利數學教具裡最最最屌到爆的就是下面這個Trinomial Cube了!

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拆開來是下面這二十七塊積木,分別有著紅、藍、黃、黑四種顏色。

仔細看的話,這個Trinomial Cube裡的二十七塊積木分別是:

三個不同大小的正方體,從小到大分別是黃色、藍色、紅色。

三個紅黑方柱體,高度跟藍正方體一樣。三個紅黑方柱體,高度跟黃正方體一樣。

三個藍黑方柱體,高度跟紅正方體一樣。三個藍黑方柱體,高度跟黃正方體一樣。

三個黃黑方柱體,高度跟紅正方體一樣。三個黃黑方柱體,高度跟藍正方體一樣。

六個長方體,長寬高分別是紅正方體、藍正方體、黃正方體的邊長。

哎呀給你們看拆開來的照片比較快:

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在這個三到六歲的幼兒階段,雖然教室裡已經有了Trinomial Cube,work的內容限於讓孩子碰觸、觀察、建立熟悉感,然後像方塊拼圖一樣把他們拼回去。拼拼圖的規則是黃色面必須對著黃色面、紅色面必須對著紅色面、藍色面必須對著藍色面,然後紅藍黃必須像下面盒蓋圖示這樣呈對角線。

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像許多許多其他的蒙特梭利數學教具,在幼兒班看得到的教具,到小學班仍然還在那兒!可是隨著年齡的不同,使用方法與建構的概念也越來越進階。這樣孩子們不會一升級進到新的教室就遇到完全陌生的環境與課程,整個從小到大的學習經驗相當地流暢充滿一貫性。

屌到爆的Trinomial Cube當然是每個不同階段教室的固定班底。我們離開了兩少爺的教室,移動到六到九歲的小學低年級混齡班教室時,果然又遇到它了。

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只是這時候的Trinomial Cube不再是個方塊拼圖。這時候的孩子們已經對拼這個拼圖相當熟練,所以對它一點恐懼感都沒有。小學部的老師方才會開始介紹這個方塊拼圖背後的超誇張的數學概念。

紅色的邊是 a,紅色正方形是 a²(a-squared,又真的是個square紅色正方體則是 a³(a-cubed,又真的是個cube

藍色的邊是 b,藍色正方形是 b²,藍色正方體則是 b³

黃色的邊是 c,黃色正方形是 c²,黃色正方體則是 c³

有紅色相對面的方柱體,則分別是 a²b 與 a²c。有藍色相對面的方柱體,則分別是 b²a 與 b²c。有黃色相對面的方柱體,則分別是 c²a 與 c²b。

而那六個長寬高分別是紅藍黃邊長的長方體呢,當然就是 abc 了。

剛進小學的孩子們先從認知這些邊長並且標註它們開始。等到相當熟悉之後,精彩的就開始了!

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以下圖示可以清楚看見所有的積木背後帶出來的體積公式。

而拼好的整個Trinomial Cube呢,當然則是 (a + b + c)³。孩子們從四歲開始就知道以下二十七塊積木可以圓滿地塞進這個體積為 (a + b + c)³的Trinomial Cube裡面,於是很理所當然地,這個Trinomial Cube帶出了『 (a + b + c)3 = (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) = a33a2b3ab26abc3a2c3ac2b33b2c3bc2c3』這麼屌的鬼東西!

而且小學三年級之前大家就都已經駕馭這個概念了。

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說著說著,老師衝去隔壁小學高年級混齡教室借了終極版的Trinomial Cube,整個顏色大變,每塊積木都只有一種顏色。老師說到四五年級的時候,他們開始把1、10、100的數字套進Trinomial Cube的公式裡進階演算,因此整個顏色也不一樣了。老師很仔細地講解著高階Trinomial Cube的用法與建構出的概念,不過到這個時候,四歲布魯奇的大腦已經不堪負荷完全迷路失蹤。

曾經一度在兩少爺教室遇過的用來運算四位加法減法的教具,同樣也在小學低年級班裡遇到了,只是在這邊用來運算的是四位乘法與四位除法。

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另外在兩少爺教室遇到的同樣是用來做四位加減法的算盤,在小學低年級教室裡則遇到進階版,直接從一衝到一百萬去,用來演算的則是多位數乘法除法等更進階的算數。

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小札克熱愛的分數盤,當然在小學班也少不掉。

只是在幼兒班還被膩稱為『派』的概念,到這邊已經正名為『分數』,孩子們也開始藉著互換『派』的位置來建立出 2/4 = 1/2、3/5+2/5=1 之類的分數加減法概念。

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另一個每次遇到都讓我覺得大腦炸掉的超屌的小學教具就是下面這個Checker Board。同樣地使用著珠子換來換去進位的概念,Checker Board最多可以算出九位數乘四位數的恐怖乘法。

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另外一個難以置信是小學一到三年級就可以懂的概念,就是下圖這個Pythagorean theorem畢氏定理的神奇教具了。

畢氏定理就是那個直角三角形的三邊邊長 a2+b2=c的關係。

蒙特梭利小學主張cosmic education宇宙教育,教學不分科,因為世界上的道理與知識通常都是跨學科的,也都無法畫出很明確的界線。整個畢氏定理教具lesson是從巴比倫人如何為了計算河岸邊的農地面積與灌溉路線而研究出這個公式的歷史開始,讓孩子們瞭解了這個公式的實用性與必要性,再逐漸進入公式的內容。這個時候,一些對巴比倫人歷史感到興趣的孩子們,可能就會著手進行歷史方面的深入研究。而一些對古代農業灌溉計算有興趣的孩子們,可能也就會招集小團隊一起研究做出一個報告。

言歸正傳,大家仔細看下圖,中間直角三角形的三邊各有著一個正方形(square)。所以三角形邊長a旁邊的黃色正方形就是a2(a-squared),以此類推邊長 b 與 c 旁邊的藍色正方形與紅色正方形就是 b與 c

下圖裡三組直角三角形黏著三個正方形的形狀是一模一樣的,可是三組裡三個正方形裡塞的東西都不一樣。第一組塞的是三個紅色藍色黃色正方形,第二組的藍黃兩個正方形被切成兩個直角三角形、紅色正方形則被對角裁成四個直角三角形,第三組則是紅藍黃每個正方形被切成同樣單位的3x3、4x4、5x5小方塊。

然後藉由這三組的拼圖互換,孩子們用雙手體驗出兩個較小的藍色黃色正方形的面積,真的會等於紅色正方形的面積,也就是說,a2+b真的會等於 c2

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不信邪?把3x3、4x4、5x5的小方塊全部拆下來拼拼看。

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果然真的可以把紅色跟藍黃兩色互換位置然後還塞得剛剛好!

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另外這些小學孩子們也靠著下圖教具去很明確地懂了Pi(π)的意義,以及圓周的計算方式。

(真的是把圓周畫出來,然後一個個去量是直徑的幾倍。從小圓板的量到大圓板,最後推論出不管大小圓形的圓周都等於三個直徑加上一點點)

(然後小學生就開始全校亂跑去找各種不同的圓形物品做實驗應證)

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小學老師帶著驕傲的微笑說,靠著一路上來的建構式教育,這些孩子們對每道算數都有著紮實無比的概念,在腦中可以很具體地看到數字代表的形體。一些孩子們懂了長方形面積之後,就自己興奮地演算出三角形與圓形面積,有些懂了長方體體積的孩子也會自己演算出圓柱體與球形體積。

身邊家長問大概到什麼時候孩子們會自己在腦中或紙上演算數學,不使用教具。老師說如果孩子們只是把乘法表或是公式死背的話,她還是會要求孩子們繼續紮實地藉由教具去求解,因為死背而不了解概念對老師來說不是真的懂,對孩子沒有助益。

大部份的孩子們教具做到熟練之後都會逐漸開始直接在腦中運算,許多孩子就會開始省略步驟,到最後直接把教具省略掉,這種因為熟了懂了而產生的自然記憶才是這個階段的目標。

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除了數學之外,教室裡也包含著其他各種科學、藝術、生物、地理等種種教具。使用手搖鈴的音樂教育,讓一些孩子們也能自己作曲。

『Discovery』結束之後,大家回到瑜伽教室吃中學部廚房煮出來的我們兩少爺每天在吃的營養午餐,同時進行最後的討論與問答。

這時候每個家長看起來都處於大腦被炸爆的狀態,大家一致覺得當初若自己的數學是這樣學的就未免太美好了。

連保羅也不得不承認此行獲益良多,充滿教育性又相當療癒,而且讓我們更加深入瞭解自己孩子們的學習環境了。(又贏了一回)

寫到這裡,我的大腦已痠。

在此告一段落,下次見!

(下課鈴響)

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